对数常数:log(2)

本文译自 Xavier Gourdon 和 Pascal Sebah 的网站,原文http://numbers.computation.free.fr/Constants/Log2/log2.html

 

log 2 = 0.69314718055994530941723212145817656807550013436025…

通过减少劳动量,使天文学家的寿命翻了一番
– 皮埃尔·西蒙·德拉普拉斯 (1749-1827),关于对数

你不知道,对数表计算有多少诗意!
-卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855),给他的学生.

1 引言

对数的故事开始于苏格兰人约翰·内皮尔(1550-1617)在1614年出版的一本着作中. 这篇论文是拉丁文的,题目是“  Mirifici logarithmorum canonis descriptio[7]. 不过需要指出的是,瑞士钟表匠约斯特·比尔吉(JostBürgi,1552-1632)独立发明了对数, 但直到1620年,他的作品一直没有发表。.

由于可以分别用加法和减法来代替令人痛苦的乘法和除法,这个发明在欧洲大陆得到了非同寻常的欢迎并迅速传播(特别是得益于像开普勒这样的天文学家的热情)。在内皮尔三百周年纪念展上,乔治·吉布森写道:“对数的发明标志着科学史上的一个时代。

很快,对数表就被发布了. 其中之一是由英国数学家亨利·布里格斯(Henry Briggs)(1561-1631)于1624年出版了他的作品“ 算术对数 ”(Arithmetica logarithmica) [4]。这份对数表精确到十四位数字,并且包含了1-20,000以及9万到101,000的常用对数。. 1628年, 荷兰人Adrian Vlacq(1600-1667)完成了剩余的空缺部分[12]

数学家更喜欢使用一个所谓自然对数或双曲对数(表示为log或ln,即以e = 2.7182818284 为底的 对数,下面的定义允许简单推导出 对数的主要性质。

定义1 令x> 0

\(log ~x = \int_1^x \frac{dt}{t}=\int_1^{x-1} \frac{dt}{1+t}\)

它可被解释为双曲线y = 1 / t下的面积 ,t从1到x. 这个几何解释由耶稣会圣文森(1584-1667))在1647年所展示。

因此,log 2将被定义

\(log~ 2 = \int_1^2 \frac{dt}{t}=\int_0^{1} \frac{dt}{1+t}= \int_0^{1/2} \frac{dt}{1-t}\)

定理2 log 2 是无理数和超越数。

2 基于积分表示的算法

从log 2的积分表示,我们可以推导出一些公式。第一个是从积分的矩形近似(这里h =(b – a)/ n) 推导出来的

\(\displaystyle \int_a^b f(t)dt =h \sum_{k=1}^n f(a+kh) + O(h)\)

对区间[0,1] 应用f(t)= 1 /(1 + t)给出

\(\displaystyle log~ 2 = _{n \to \infty}^{lim} ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}+ \cdots + \frac{1}{2n})\)

随着这个序列的不断增加。得到的值也越来越精确。

x10
= 0.6(687…),
x100
= 0.69(065…),
x1,000
= 0.69(289…).

这是一个非常缓慢的收敛,但如果我们使用梯形法,则可以改进为

\(\displaystyle  \int_a^b f(t)dt=~\frac{h}{2}(f(a)+f(b)+2~\sum_{k=1}^{n-1}f(a+kh))+O(h^2),\)

可得到

\(\displaystyle log~2 = _{n \to \infty }^{lim} \Big ( \frac{3}{4n} + ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n-1}) \Big ) \)

某些迭代得到

x10
= 0.693(771…),
x100
= 0.6931(534…),
x1,000
= 0.693147(243…)..

其收敛速度有所改善,但仍为对数级收敛。我们现在对积分的计算作出最后的改进,即辛普森法

\( \displaystyle \int_a^b f(t)dt=\frac{h}{6} \sum_{k=0}^n \Big( f(a+kh)+f(a+(k-1)h) + 4f(a+(k-\frac{1}{2})h) \Big)+O(h^4),\)

给出

\( \displaystyle log ~2 = _{n \to \infty} ^{lim}  \sum_{k=0}^n ~ \Big( \frac{1}{n+k} + \frac{1}{n+k-1} + \frac{4}{n+k-1/2} \Big) \)

新的迭代得到

x10
= 0.693147(374…),
x100
= 0.6931471805(794…),
x1,000
= 0.69314718055994(726…).

从这些例子中我们可以注意到,这样的公式只能用来计算log 2的少数几位数,因为收敛速度太慢,以致无法得到高精度的常数。

3. 一个简单的极限

有趣的是,我们能够发现,对数可以通过一些非常简单的公式计算出来,这些公式与几何面积没有直接关系,只涉及开平方。

我们知道常数e可以由着名的极限定义来得到

\(e ~= _{n \to \infty}^{lim} ( 1+ \frac{1}{n}) ^ n,\)

值得注意的是,存在一个计算对数常数的类似的公式:

\(log ~ 2 ~ = ~ _{n \to \infty}^{lim} n( 2^{1/n}-1) ,\)

这显然是从那个扩展中推演出来的

\(2 ^{1/n} ~ = ~ e^{ log ~2/n}=1+\frac{log~2}{n} + O(\frac{1}{n^2}).\)

取n = 1000,我们发现

x1,000 = 0.693(387…).

一个更好的公式给出

\(log ~ 2 = ~ _{n \to \infty } ^\lim \frac{n}{2}(2^{1/n}-2^{-1/n}),\)

再次,当n = 1,000

x1,000 = 0.693147(236…),

这个误差是\(O(\frac{1} { n ^2})\)。总结本节,我们给出了赛德尔在1871年发布的不寻常的无限乘积公式

\( \displaystyle \frac { log ~ x }{x-1}= \prod _{k=1} ^{k= \infty} \frac {2} {x^\frac{1}{2^k}+1} \)

我们将它应用于x = 2

\( log ~ 2 = \frac{2}{2^{1/2}+1} \frac{2}{2^{1/4}+1} \frac{2}{2^{1/8}+1} \cdots \)

4 泰勒展开

1668年,尼古拉斯·墨卡托(1620-1687)在他的对数函数[6]中发表 了着名的对数函数级数展开式:

定理3 (墨卡托)

\(\displaystyle log (1+x)= x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots= \sum _{k \geq1} \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}. \quad -1<x \leq 1 \)

墨卡托级数与詹姆斯•格雷戈里(James Gregory,1638-1675)研究的另一个级数非常相似:

\( arctan ~ x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \cdots \)

第一个使用墨卡托级数的数学家之一是伊莎克·牛顿(Isaac Newton,1643-1727),他在1671年写了着名的“De Methodis Serierum et
Fluxionum”(De Methodis Serierum et Fluxionum),此书包含了各种对数计算,但直到1736年,John Colson才将这本书翻译成英文并发表 。.
他对较小的x值(如± 0.1,1± 0.2)进行了精确的计算,然后使用log 2 = 2log(1.2)- log(0.9)- log(0.8)之类的关系计算大数的对数。.

对x = 1, 应用墨卡托级数会导致着名且慢的收敛

\( log ~ 2 = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5}- \cdots \)

分别取10,100,1000和10000项得到:

x10
= 0.6(456…)
x100
= 0.6(881…)
x1,000
= 0.69(264…)
x10,000
= 0.693(097…).

一个好得多的想法是应用x = – 1/2 , 这产生了一个经常用于数值计算的公式:

\( \displaystyle log ~2 =  \sum _{k \geq1} \frac{1}{k2^k} \qquad  (1)  \)

这个公式的收敛速度是几何级的(每获得1位数字,需要p次迭代)。

x1
= 0.(5)
x10
= 0.693(064…)
x100
= 0.6931471805599453094172321214581(688…)

应用这个公式,取k = 1000时,log 2的数字超过300位。 获得d位十进制数字所需的迭代次数k由下式给出(在前面的公式中N = 2)

\( \frac{1}{10^d}=\frac{1}{kN^k} \)

这给出了k的上限值

\( k \approx \frac{d}{log10(N)} \)

如果我们使用平凡的分解2 = (4/3) (3/2), 并在等号两端取对数,我们找到一个新的公式

\( \displaystyle log ~ 2= \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}  \Big( \frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k}\Big) \)

当K达到1000时,这个级数的部分总和将会超过470位有效数字。

从等式log 2 = – 1 / 2log(1 – 1/4)+ arctanh(1/2)(参见下一段关于arctanh的定义),我们推导出公式

\(  \displaystyle log ~2 = \sum _{k \geq 0} \Big ( \frac{1}{8k+8} + \frac{1}{4k+2} \Big ) \frac{1}{4^k}, \)

\(  \displaystyle log ~2 = \frac{2}{3} + \sum _{k \geq 1} \Big ( \frac{1}{2k} + \frac{1}{4k+1} + \frac{1}{8k+4} + \frac{1}{16k+12}\Big ) \frac{1}{16^k}. \)

这些公式还可以用来直接计算 log 2 的第n个二进制数字,而不用计算以前的数字。

5 Machin类公式

使用墨卡托级数已经大大提高了我们计算log2至很多位数字的能力,但是对于数p来说,可以走的更远。我们记得反双曲正切的定义。我们记
得反双曲正切的定义.

定义4 令| x | < 1:

\(  \displaystyle arctanh~x = \frac{1}{2} log \Big(\frac{1+x}{1-x} \Big) = \sum _{k \geq 0} \frac {x^{2k+1}}{2k+1}. \)

对于x = 1/3,这很容易导出与公式 \( \pi = arctan(1) \) 类似的基本公式log 2 = 2 arctanh(1/3)。我们将其重写为:

\( \displaystyle log ~2 = \frac{2}{3} \sum _{ k \geq 0 } \frac{1}{(2k+1)9^k} \)

下面是两个迭代:

x1
= 0.6(666…),
x10
= 0.6931471805(498…).

将公式应用到k = 1000时,log 2的有效数字超过了950位。. 可以做得更好吗?有一个著名的\( \pi \)的 公式,这个公式被称为梅钦的公式,由著名的
关系式子给出:

\(  \frac{\pi}{4}= 4~ arctan(\frac{1}{5}) – arctan(\frac{1}{239}).\)

这个想法是寻找计算log2的关系式. 如果我们注意 \( (a_1,a_2,\cdots,a_n)\)这一组有理数和 \( (p_1,p_2,\cdots, p_n)\)这样一组不断增加的整数, 这个关系式是下面这个样子的。

\( \displaystyle  log~2 =  \sum _{i=1} ^n a_i ~ arctanh(\frac{1}{p_i})\)

我们也希望公式是高效的。一个好的关系式是一个少的项数(n必须小)和大的\(p_i\)的折中。按照莱默的做法,我们通过下面的公式定义效率E.
定义5 (莱默度量)。 令\(p_i > 0\),  是n个元素的数组,则:

\( \displaystyle  E =  \sum _{i=1} ^n \frac{1}{log10({p_i}^2)} \)

例如log 2 = 2 arctanh(1/3),这里(n=1,p= 3),效率度量是1.05。使用同样的效率定义,Machin公式的效率度量为0.926(n=2, p1=5,p2=239), 所以它比log 2的公式效率更高。

可以推出如下分解定理:

定理6 令p>1 :

\( arctanh ( \frac{1} {p}) = arctanh (\frac{1}{2p-1}) + arctanh(\frac{1}{2p+1}) \)
\( arctanh ( \frac{1} {p}) = 2arctanh (\frac{1}{2p-1}) – arctanh(\frac{1}{2p^2-1}) \)
\( arctanh ( \frac{1} {p}) = 2arctanh (\frac{1}{2p+11}) + arctanh(\frac{1}{2p^2-1}) \)
\( arctanh ( \frac{1} {p}) = 2arctanh (\frac{1}{2p}) + arctanh(\frac{1}{4p^3-3p}) \)

对p = 3 应用这个定理给出了n = 2的关系式

推论7

\( log~2 = 2 arctanh(\frac{1}{5}) + 2 arctanh(\frac{1}{7}) \) Euler 1748   (2)
\( log~2 = 4 arctanh(\frac{1}{5}) – 2 arctanh(\frac{1}{17}) \)                     (3)
\( log~2 = 4 arctanh(\frac{1}{7}) + 2 arctanh(\frac{1}{17}) \)                    (4)
\( log~2 = 4 arctanh(\frac{1}{6}) + 2 arctanh(\frac{1}{99}) \)                    (5)

以上3个公式的效率分别为E = 1.307,E = 1.121,E = 0.998,E = 0.893。 使用其他分解公式和计算机计算,可以找到许多其他的这种性质的关系式(在[8]中给出)。为了说明这一点,我们选择另外几个公式,1个三项的和2个四项的。

定理8 (1997)。常数log 2可以通过以下任何1个快速收敛的级数获得:

\( log~2 = 18 arctanh(\frac{1}{26}) – 2 arctanh(\frac{1}{4801}) + 8 arctanh(\frac{1}{8749})  \)       (6)
\( log~2 = 144 arctanh(\frac{1}{251}) + 54 arctanh(\frac{1}{449}) – 38 arctanh(\frac{1}{4801}) +  62 arctanh(\frac{1}{8749})  \)      (7)
\( log~2 = 72 arctanh(\frac{1}{127}) + 54 arctanh(\frac{1}{449}) + 34 arctanh(\frac{1}{4801}) -10 arctanh(\frac{1}{8749}) \)       (8)

以上3个公式的效率分别是(E = 0.616,E = 0.659,E = 0.689)。最后两个公式用于计算log 2的\(10^8\)位。一个用于计算,另一个用于验证,正如你所看到的,只有5个arctanh的计算是必要的,因为有2项arctanh被重复使用。由于关系(6),几年后的记录增加到了\(5 \times 10^8\)以上。

请注意,还可以分别执行每一项的计算,使这些关系式的计算可以并行化。

例如,我们给出第二个公式的第一次迭代(包含251的那个),每次迭代会增加精度4.8位:

x1
= 0.6(456…)
x2
= 0.6931471805(304…)
x3
= 0.69314718055994(497…)
x4
= 0.69314718055994530941(317…)

5.1有理数的公式

寻找与有理数有关的关系可能是方便的,其形式是同一的:

\( \displaystyle log~2 = \sum _{i=1}^n a_i ~ arctanh( \frac{m_i}{p_i}) \)

\(m_i\)是整数,而上面的公式是1,莱默度量必须考虑这一点。

定理9 (1997)

\( log ~ 2= 6 arctanh(\frac{1}{9}) + 2 arctanh(\frac{3}{253}),\)        (9)
\( log ~ 2= 10 arctanh(\frac{1}{17}) + 4 arctanh(\frac{13}{499}),\)        (10)

其效率分别为 E = 0.784和 E = 0.722。注意关系式(10)用于几个常数的高精度计算。

6 各种超几何级数

高斯研究了以下级数家族

\(  F(a,b,c,z)= 1 + \frac {a \cdot b} {c} \frac{z}{1 ! } + \frac {a(a+1) \cdot b (b+1)}{ c(c+1)} \frac{z^2}{2!} + \cdots \)

其中a,b,c是实数。该级数收敛于 | z | <1.。在圆| z | = 1时,级数在c > a + b时收敛。这些函数被称称之为超几何函数 [1]。通过使用合适的a,b,c的值,许多通常的函数可以表示为超几何函数。

例10

\( ln(1+x)= xF(1,1;2;-x), \)
\( arctanh~x = xF(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};x^2), \)
\( arctan~x = xF(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-x^2), \)
\( \frac{1}{1-x}= F(1,1;1;x). \)

1797年,高斯的朋友约翰·弗里德里希·普法夫(Johann Friederich Pfaff,1765-1825)给出了有趣的关系式

\( F(a,b,c,z)= (1-z)^{-b} F(c-a,b,c, \frac{z}{z-1} ). \)

如果我们将这个公式应用于arctanh函数

\( arctanh~x = xF(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};x^2), \)

我们发现,

\( arctanh~x =\frac{x}{1-x^2} F(1,1;\frac{3}{2};\frac{x^2}{x^2-1}), \)

对这个函数,我们给出一个新的级数

\( arctanh~x = \frac{x}{1-x^2} \Big ( 1- \frac{2}{3}(\frac{x^2}{1-x^2} ) + \frac{2 \cdot 4 } {3 \cdot 5} (\frac{x^2}{1-x^2})^2 – \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 5 \cdot 7}  ( \frac{x^2}{1-x^2})^3 + \cdots \Big ) \)

使用 log2 = 2 arctanh(1/3); 经过一些简单的操作,该级数

推论11

\( log 2 = \frac{3}{4} \Big ( 1- \frac{1}{12} + \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 20}- \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{12 \cdot 20 \cdot 28} + \cdots \Big ). \)

这个级数的每个新项都乘以- k /(8 k +4),其中k = 1,2,…欧拉给出了同样类型的公式来计算\( \pi \)。这个推论的一个很好的应用就是编写一个很小的代码来计算log 2,就计算\( \pi \)一样。

7. log2和AGM

所有先前的级数的收敛率是对数或几何的。根据AGM(算术几何平均值)(参见[2]),可以找出一个计算log 2的公式,这个公式就像\( \pi \)一样,是二次收敛的。
基于AGM的二次收敛算法中最经典的log 2如下所示。从开始一个\(a_0\)和 \(b_0>0 \),我们考虑AGM迭代

我们使用符号

\( a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, \qquad b_{n+1}= \sqrt {a_n b_n },  \)

我们使用迭代

\( \displaystyle  R(a_0,b_0)= \frac{1} {(1- \sum _{n \geq 0} 2^{n-1}( {a_n}^2-{b_n}^2) )}  \)

定理12 令 \( N \geq 3\) 和 \( x \leq 1\)

\(  \vert log ~ x – R(1,10^{-N}) + R(1,10^{-N}) x  \vert \leq \frac{N}{10 ^{2(N-2)}}\)

通过选择x = 1/2,该算法给出log 2的约2N位十进制数​​。这个是二次收敛的,并且当 \(2^{n-1} ( {a_n}^2 – {b_n}^2 \)小于 \(10^{-2N} \) 就该停止,为 \( n \approx log_2(N) \)

请注意,这个算法不是专门用来计算log2的,对于任何实数X,都可以用来计算logX的值。. 使用FFT乘法,以获得 n位有效数字的x,它的复杂性是O(n log^2n)。

8 计算log p

从log 2的一个很好的近似开始,由于这个关系式的缘故,很容易找到所有整数的对数的表达式

\( \displaystyle 2 ~ arctanh( \frac{1}{2p+1}) = log \Big ( \frac{1+\frac{1}{2p+1}}{1-\frac{1}{2p+1} } \Big )= log( \frac{p+1}{p}), \)

因此我们推断:

定理13 令p> 0

\( log(p+1)= log ~ p + 2 \Big ( \frac{1}{2p+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{ {(2p+1)}^3} + \frac{1}{5} \frac{1}{ {(2p+1)}^5} + \cdots \Big ) . \)

当你需要计算多个连续的整数的对数时,这可能是有用的。

实例14 用p=2,p=4 和p=7

\( log ~ 3 = log ~ 2 + \frac{2}{5} \Big ( 1+ \frac{1}{3} \frac{1}{25} + \frac{1}{5}\frac{1}{25^2} + \cdots \Big ),\)
\( log ~ 5 = 2log2 + \frac{2}{9} \Big ( 1+ \frac{1}{3} \frac{1}{81} + \frac{1}{5}\frac{1}{81^2} + \cdots \Big ), \)
\( log ~ 7 = 3log2 + \frac{2}{15} \Big ( 1+ \frac{1}{3} \frac{1}{225} + \frac{1}{5}\frac{1}{225^2} + \cdots \Big ). \)

9 log2公式的集合

log2的积分和级数公式可以在log2的公式集合中找到。

10 log 2的计算记录

 

位数 什么时候 备注
16 约1671 牛顿 他用log2 = 2log(1.2)-log(0.9)-log(0.8)和墨卡托级数对数。
25 1748 欧拉 关系式(2)被使用。欧拉还计算了整数3 到10的的自然对数,并精确到25位有效数字[5]
137 1853 Shanks 还计算了log3,log5和log10的值,并精确到137位数字。他的工作发表了一个p计算[9]
273 1878 亚当斯 亚当斯还以相同的精度计算了log3,log5和log7。
330 1940 H. S. Uhler 罗康瑞还使用相同的精度,计算出了log3,log5,log7和log17的值[11]
3 683 1962 D.W. Sweeney 在同一篇文章指出,计算log2是计算欧拉常数最多达3566位的必要条件)。 用于log2的公式是扩展(1)(见[10]
2 015 926 1997 P. Demiche 他的计算使用公式(2)这个经典方法。HP9000 / 871在160MHz下花了16个小时。
5 039 926 1997 P. Demiche 同样的技术被使用,在同一台计算机上做计算,花了130个小时
10 079 926 1997年12月 P. Demiche 相同的技术,在同一台计算机上做计算,400小时。
29 243 200 1997年12月 X. Gourdon 使用AGM公式(11),用到FFT技术。计算是在SGI R10000工作站上完成的,耗时20小时58分钟。
58 484 499 1997年12月 X. Gourdon 相同的AGM技术,在同一台计算机上83小时。
108 000 000 1998年9月 X. Gourdon 四项公式(7)与二分法一起使用。公式(8)被用于验证。在一台具有256M内存PII 450,这个算过程化
了47个小时的。
200 001 000 2001年9月 X. Gourdon 和 S. Kondo 使用公式(6)和(5)。 在一台具有256M内存的Athlon 1300,花了8个小
时。
240 000 000 2001年9月 X. Gourdon 和 S. Kondo 使用公式(6)和(10)。在一台具有1024M内存的PIV 1400上,花了14个小
时.
500 000 999 2001年9月 X. Gourdon 和 S. Kondo 使用公式(6)和(10)。在一台具有1024M内存的PIV 1400上,花了28个小
时.

参考文献
[1] M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, (1964)
[2] J.M. Borwein and P.B.Borwein, “Pi and the AGM – A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity”, A
Wiley-Interscience Publication, New York, (1987)
[3] R.P. Brent, Fast multiple-Precision evaluation of elementary functions, J. Assoc. Comput. Mach., (1976), vol. 23,
p.242-251
[4] H.Briggs, Arithmetica logarithmica sive logarithmorum Chiliades Triginta, London, (1624)
[5] L. Euler, Introduction à l analyse infinitésimale (french traduction by Labey), Barrois, aîné, Librairie, (original
1748, traduction 1796), vol. 1, p. 89-90
[6] N. Mercator, Logarithmotechnia, London, (1668)
[7] J. Napier, Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Edimboug, (1614)
[8] P. Sebah, Machin like formulae for logarithm, Unpublished, (1997).
[9] W. Shanks, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals,
G. Bell, London, (1853)
[10] D.W. Sweeney, On the Computation of Euler’s Constant, Mathematics of Computation, (1963), p. 170-178
[11] H.S. Uhler, Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17, Proc. Nat. Acad.
Sci., (1940), vol. 26, p. 205-212
[12] A. Vlacq, Arithmetica logarithmica, Gouda, (1628)

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